สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

    สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  พร้อมตัวอย่าง

สมการ

                 สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

                    นิยาม   สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  คือ  สมการที่มีตัวแปรหรือตัวไม่ทราบค่า  (unknow)  และเลขชี้กำลัง

        ของตัวแปรเป็น  1  ตัวแปรอาจปรากฎเพียงข้างใดข้างหนึ่งของเครื่องหมาย  “ = ”  หรือ  ปรากฏทั้งสองข้างแต่

        เมื่อจัดรูปให้อยู่ในรูปผลสำเร็จโดยมี  x  เป็นตัวแปร    a , b  เป็นค่าคงตัว  และ a ไม่เท่ากับ  0  จะอยู่ในรูปแบบ

        สมการเป็น             ax + b = 0

               

                สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  จะมีค่าคำตอบเพียงค่าเดียวเท่านั้น  คือ  จำนวนที่เมื่อนำไปแทนค่าตัวแปรใน

        สมการแล้วทำให้สมการนั้นเป็นจริง   บางครั้งจะเรียกคำตอบของสมการว่า  รากของสมการ

                คำสั่งของโจทย์ประเภทนี้มักใช้คำว่า  จงแก้สมการ  จงหาค่า  x  (ตัวแปรในสมการ)  จงหารากของสมการ

        หรือจงหารคำตอบของสมการ

                สมการ  2  สมการจะสมมูลกันก็ต่อเมื่อคำตอบของสมการ  ทั้งสองต้องเท่ากัน

           การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

               การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  ต้องอาศัยสมบัติการเท่ากันของจำนวนที่ว่า  จำนวน   2    จำนวน  

        ที่เท่ากันเมื่อเพิ่มหรือตัดออกเท่ากันย่อมเท่ากัน    

                        ตัวอย่างที่ 1          จงหาคำตอบของสมการ    2x  –  5   =   8

                        วิธีทำ                     จากสมการ            2x  –  5   =   8

                                           จะได้                        2x  –  5  +  5   =   8 + 5                                       (นำ  5  ไปบวกทั้งสองข้าง)

                                                                                x  +  7   =   9

                                  จะได้                             x  +  7  –  7   =   9  – 7                                       (นำ  -7  ไปบวกทั้งสองข้าง)

                                                                                       3x   =   15

                                                                             1/3  .  3x   =   15 . 1/3                                   (นำ 1/3  ไปคูณทั้งสองข้าง)

                                                                                    (1)x    =   5

                                                                                         x    =    5                                 นั่นคือ      x    =    5                 

                                ข้อแนะนำในการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวมีดังนี้

1.       ทำให้เป็นผลสำเร็จโดยการจัดให้ตัวแปรและค่าคงตัวอยู่คนละข้างของเครื่องหมาย “ = ”

                       ตัวอย่างเช่น                                       3x  +  4   =   10

                                                                           3x  +  4  –  4  =   10  –  4                                    (นำ  4  ลบออกทั้งสองข้าง)

                                                                                          3x   =   6

                                                                                 1/3 .  3x   =   1/3 . 6                                      (นำ 1/3   ลบออกทั้งสองข้าง)

                                                           ดังนั้น                       x   =   2

                  2.       ถ้าพบวงเล็บในสมการ เช่น (  ) . [  ]  หรือ  {  }  ต้องถอดวงเล็บทิ้งไป  โดยถอดที่ละวงเล็บ

          และต้องระมัดระวังอย่างยิ่ง  หน้าวงเล็บใดมีเครื่องหมาย .”-“  เมื่อถอดวงเล็บออกแล้วต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย

          ทุกจำนวนภายในวงเล็บนั้นเป็นจำนวนตรงข้าม

                            ตัวอย่างเช่น                                    1 + 2 { 5  –  ( 3x – 2 ) }   =   3

                                           จะได้                             1 +  2 { 5 - ( 3x - 2 ) } - 1   =  3 -  1                      (นำ 1 ลบออกทั้งสองข้าง)

                                                                                                 2 { 5 - 3x  + 2 }   =    2                     อย่าลืม!  เปลี่ยนเครื่องหมาย

                                                                                                1/2 . 2 { 7 - 3x }   =  2 . 1/2               (นำ  1/2    คูณทั้งสองข้าง)

                                                                                                                7 - 3x    =   1

                                                                                                     7  –  3x  –  7    =   1  –  7              (นำ 7 ลบออกทั้งสองข้าง)

                                                                                                     -(  1/3 ) . - 3x   =   -6 ( -1/3 )         (นำ -1/3   คูณทั้งสองข้าง)

                                                                                                            ดังนั้น  x   =    2

  

                     การแก้สมการเมื่อจำนวนในสมการส่วนมากอยู่ในรูปเศษส่วน 

         จะไม่สะดวกในการทำให้เป็นผลสำเร็จ  อาจทำให้  “ส่วน”  หมดไปโดยการนำ  ค.ร.น.  ของส่วนทั้งหมด

คูณตลอดสมการนั้น

                               

                   โจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

                       โจทย์ประเภทนี้จะมีข้อความที่ไม่ทราบค่าปรากฏอยู่  และข้อความที่เกี่ยวข้องกับข้อความอื่น  ๆ  อีกหลาย

           ข้อความในโจทย์นั้น  ซึ่งอาจมีความสัมพันธ์กับข้อความนั้น  ๆ  โดยตรงหรือโดยอ้อม  การแก้ปัญหาเกี่ยวกับ

            โจทย์สมการก็คือการหาคำตอบของโจทย์นั่นเอง 

                      โดยวิธีการกำหนดตัวแปรแทนข้อความที่ไม่ทราบค่านั้น  (นิยมใช้  x  เป็นตัวแปร)  แล้วเขียนข้อความอื่น  ๆ

           ในรูปของ  x  นี้  สร้างสมการขึ้นมา

                    ตัวอย่างเช่น         ก   มีเงินมากกว่า   ข   อยู่   12   บาท    ก   กับ  ข    มีเงินรวมกัน   88    บาท  ก    มีเงินเท่าไหร่

                วิธีทำ      ให้   ก    มีเงิน    x   บาท  จะได้   ข   มีเงิน  x  –  12    บาท

                                         ก   และ   ข   มีเงินรวมกัน  88  บาท

                                              สมการคือ                                x +  ( x - 12 )   =    88      

                                                                                                                   2x  =    88 + 12

                                                                                                                    x    =    50

                                                นั่นคือ  ก  มีเงิน  50  บาท

            

            ข้อแนะนำในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับโจทย์ปัญหาสมการทั่วๆ ไป     มีดังนี้

                        1)     เมื่ออ่านปัญหาโจทย์แล้วจะต้องกำหนดตัวแปรแทนข้อความที่ยังไม่ทราบค่าในโจทย์ซึ่งอาจมีหลาย

            ข้อความโดยทั่วไป  มักจะกำหนดตัวแปรแทนข้อความที่โจทย์ถาม  แต่ไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ทุกครั้ง  ทั้งนี้เนื่อง

            จากบางครั้งการทำเช่นนี้จะทำให้เข้าสมการ   (เขียนความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรกับข้อความอื่นๆ  ที่ปรากฎ

            ในโจทย์)      ไม่สะดวกหรืออาจทำได้ยากกว่าการกำหนดตัวแปรแทน ข้อความอื่น  (ที่โจทย์มิได้ถาม)  ซึ่งมี

            ความคล่องในการเขียนสมการสมพันธ์กับข้อความต่าง ๆ  ที่ปรากฏในโจทย์  แต่ต้องระวังเวลา ตอบต้องไม่

            ตอบค่าของตัวแปรนั้น  จะต้องนำค่าตัวแปรไปแทนข้อความที่โจทย์ถาม

                    ตัวอย่างเช่น     สี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งมีเส้นรอบรูปยาว  14  นิ้ว  มีด้านยาวยาวกว่าสองเท่าของด้านกว้าง

            อยู่   1  นิ้ว  สี่เหลี่ยมนี้มีพื้นที่เท่าใด

                วิธีทำ      กำหนดตัวแปร  (x)   แทนข้อความที่โจทย์ถามจะไม่สะดวก  จึงควรกำหนดให้สี่เหลี่ยมมีด้านกว้าง  x  นิ้ว

                                 ด้านยาวจะยาว  2x  +  1    นิ้ว

                                 เส้นรอบรูปยาว     14    นิ้ว

                           เข้าสมการได้                                       2 [ x + ( 2x + 1 )]    =   14

                                                                                                       3x  +  1   =   7

                                                                                                               x     =     2

                                                     ดังนั้น      ด้านกว้างยาว  เท่ากับ    2  นิ้ว

                                                                      ด้านยาวยาว    เท่ากับ    2( 2 )  +  1   =   5    นิ้ว

                                                    นั้นคือ  สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่เท่ากับ     2 ( 5 )     =    10    ตารางนิ้ว

                             ข้อสังเกต  ยังนิยมใช้  x  เป็นตัวแปรแทนข้อความที่ไม่ทราบค่าหลังคำว่า  “ของ” เช่น  ในข้อแนะนำ

ข้อที่  1  มีข้อความว่า

                     ด้านยาวยาวกว่าสองเท่าของด้านกว้างอยู่          1         นิ้ว

                     ให้  ด้านกว้างยาว                                               x        นิ้ว

                     ดังนั้น  ด้านยาวจะยาว                                    2x + 1    นิ้ว

                    การแก้สมการ คือ การหาค่าของตัวแปรในสมการที่ทำให้สมการเป็นจริงโดยอาศัยสมบัติการ

        เท่ากันของจำนวนจริง ดังนี้

                    สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
                    สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ สมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว และเลขขี้กำลังของตัวแปรเป็น 1 

        สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวจะสามารถเขียนให้อยู่ในรูปอย่างง่าย ดังนี้
        ax + b = 0 เมื่อ a, b เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 เช่น

            2x + 3  =  0 
            2a + 1  =  0

                    สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง
               เมื่อ a, b และ c เป็นจำนวนจริง

                    1)สมบัติสมมาตร (symmetric property)

                                ถ้า a = b แล้ว b = a

                    2) สมบัติการถ่ายทอด (transitive property)

                                ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c 

                     3) สมบัติการแจกแจงหรือการกระจาย(distributiveproperty)

                                a(b+c) = ab + ac

                    4) สมบัติการบวก(additiveproperty)

                                ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

                                หรือ a - c = b - c 

                    5) สมบัติการคูณ (multiplicative property)

                                ถ้า a = b แล้ว

                                a x c = b x c

                                หรือ a / c = b / c เมื่อ c ไม่เท่ากับ 0